Појам златног пресека

ЗЛАТНИ ПРЕСЕК

Златни пресек у математици и уметности је специфични однос између две величине које задовољавају следеће правило: однос њиховог збира и веће величине једнак је односу веће величине према мањој.

Златни пресек се углавном обележава малим грчким словом  φ . Математички изражено:

(a+b)/a=a/b=φ

Ова једначина има једно јединствено (ирационално) позитивно решење:

φ=(1+√5)/2≈1.6180339887

Са златним пресеком улазимо у област мера, односа, пропорција. Да бисмо успоставили било какве релације, морамо имати најмање две величине. Однос – „ А према B “ – означава меру различитости, поређење између две неједнаке ствари. На вишим плановима постојања однос између две неједнаке величине се изражава једноставном математичком формулом: а:b.

Пропорција или размерa је комплекснији однос, јер у игру улазе нове величине. Она означава релацију између два односа: елемент 1 се односи према елементу 2 као елемент 3 према елементу 4.

Међутим, број елемента можемо редуковати. „Једина природна аритметичка размера коју можемо добити са само два елемента изражава се формулом а:b = b : (а + b)“. У овој размери се мања величина односи према већој као већа према целини и ова се размера назива златни пресек.

images (1)2
Резултат ове пропорције је мистериозни број , а математички изражено то изгледа овако:

Златни пресек се сматра савршеном пропорцијом – Божанском пропорцијом – и математичари, верујем, имају чист естетски угођај ишчитавајући је из формула. Преведена на „обични“ језик она изгледа овако:

Мање према Већем

као

Веће према Целини.

Увијени и запетљани у густу материју и сплет сложених и компликованих односа, Целину не назиремо лако, али на неком дубоко интуитивном нивоу ипак можемо осетити да постоји нешто Апсолутно, Цело, интегрисано и кохерентно, а не разбијено на неповезане делове. Уколико случајно као један од елемената доспемо у ову математичку формулу, то би значило да према неком другом елементу имамо исти однос као и Апсолут – Целина – према нама. Значи да смо успоставили божанску релацију. Значи да између делова Бога постоји исти однос као и Бога према његовим деловима.

У златном пресеку  ЈА  тражи савршен однос према ТИ, онакав, какав Апсолут има према својој креацији.

Музика и златни пресек

МУЗИКА

Антонио Страдивари (1644 – 1737) користио је златни пресек при изради својих гудачких инструмената, чији се савршени звук и данас проучава.

stradivari-violina-310x255

„Руски композитор Себанев се посебно бавио тим питањем  – питањем златног пресека у музици. Анализирао је огроман број композиција разних композитора. По његовом мишљењу, квантитет и учесталост златног пресека зависи од „ранга композитора“. Генијална дела великих композитора разликују се по највишем проценту заступљености златног пресека, како он то каже: „Интуиција форме и распореда, као што се и очекује, је најјача код првокласних генија“. Посматрајући ову појаву у композицијама, схватио је да је то обично неки посебан музички тренутак, квантитивни скок у развоју музичке теме. Од 1770 композиција 42 композитора, златни пресек се јавља 3275 пута, чак се једна иста варијанта златног пресека јавља у 1338 музичких композицијâ!

Највећи број музичких композиција базираних на златном пресеку налази се код следећих композитора (по Себаневу): Арсенски (95%), Бетовен (97%), Хајдн (97%), Моцарт (91%), Скрјабин (90%), Шопен (92%), Шуберт (91%). Свих 27 Шопенових етида, Себанев је проучавао до најситнијих детаља. У њима су откривена 154 златна реза који недостаје у свега 3 етиде.“ (Марко Милошевић, „Дивине пропортион“).

Свуда у природи проналазимо изразе божанских пропорција, а Фибоначијеви бројеви и мистериозни  φ су уткани у само ткиво стварања: од морских шкољки, до галаксија:

Zlatni-presek g

Листови на грани расту на међусобним удаљеностима, које одговарају Фибоначијевом низу.

 • Цветови најчешће имају 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 или 89 латица.

 •  Цветићи, смештени у глави сунцокрета, размештени су у два низа спирала: једне у правцу кретања казаљки на сату и друге у супротном.

• У пчелињој заједници, кошници, увек је мањи број мужјака пчела него женки пчела. Када би поделили број женки са бројем мужјака пчела, увек би добили број  φ.

•  Ако измеримо висину човека од врха главе до пода, затим то поделимо са дужином од пупка до пода, добијамо број φ  .

  је у пропорцијама лица, ритму откуцаја срца, структури ДНА.

• Наутилус у својој конструкцији има спирале. Када бисмо израчунали однос сваког спиралног односа према следећем добили бисмо број φ

***

Са златним пресеком закорачујемо у област мера, односа, пропорција…

Да ли и људски односи, људске емоције могу изразити савршенство Креације. Да ли постоји једно емоционално , које представља савршену, Божанску меру  и однос према Креацији? Шта би био златни рез у нашим емоцијама?

Као и код теорије о лепом и овде питање субјективних и објективних мерила избија у први план. Јер реч естетика је изведена од грчке речи која значи „онај који перципира, осетљив„. Да ли је релевантан јединствени, појединачни естетски одговор на дело или могућност идентификовања естетских принципа у њему? Да ли је естетски доживљај субјективан, или заснован на објективним мерилима?  Да ли је естетски доживљај сводив на једноставно „свиђа ми се/ не свиђа ми се“ или је пре улазак наше Суштине у резонанцу са вечним, објективним законитостима?
На сличан начин, да ли и наше емоције имају своје објективно мерило, наспрам кога се равнају?

Нека ово питање остане у „оку посматрача“, а у наставку један покушај одговора на питање о емоционалном :

Све људске емоције, каква год да је њихова природа, негативна или позитивна, и да ли су рођене услед различитих покрета психе, имају један једини покрет душе као своју основу. Све различите емоције и осећања које човек осећа су мешавине; помешани са чистом Љубављу њихови елементи је замућују: као последица, она има капацитет да апсорбује и да у себи раствори размишљања, ставове, страсти, импулсе итд. баш као што хемијски чиста вода има способност да апсорбује и раствори соли различите природе. Један од резултата овога је да разноликост људских осећања зависи, у сваком појединачном случају, од онога што је квантитативно и квалитативно помешано са чистом Љубављу, у којој је растворено.

Колико год то можда парадоксално изгледало, Љубав је она која формира јединствену базу свих варијација позитивних и негативних емоција. Да будемо прецизнији, рецимо да постоји само једна чиста емоција; 

и та емоција у својој прозрачној чистоти је Љубав.

(Борис Моравјев – „Пут“).

generosity-2.jpg

Примена у архитектури и ликовној уметности

АРХИТЕКТУРА И ЛИКОВНЕ УМЕТНОСТИ

 Златни пресек пресеца векове: Био је познат Египчанима, који су га користили приликом изградње пирамида.

Златни правоугаоници се налазе и у пирамидама, које су градиле Маје и Астеци. Један од најпознатијих примера коришћења златног пресека у архитектури је Партенон:

parthenonPhi

и црква Нотре Даме:

notredame.jpeg

Микеланђело, Рафаел, Рембрандт, Дали, Кокс, Сеурат, Мондријан само су неки од бројних уметника, који су користили златни пресек.

mikelan

Леонардо Да Винчи (1451-1519) је показао велики интерес за математику уметности и природе. Он је урадио комплетну студију фигуре чојека и показао како су њени различити  делови у пропорцији златног пресека.

mona-liza

Ипак, савршене пропорције броја су представљале идеал људског тела и лица још у античка времена.

17

Фибоначијев низ

ФИБОНАЧИЈЕВ НИЗ

                 У XII веку  италијански математичар из Пизе, Леонардо Фибоначи, је открио бројни низ који одређује сразмеру златног пресека.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

              Полазећи од бројева 0 и 1 сваки следећи број је једнак збиру претходна два. Ова једноставна особина даје необичне резултате: ако поделимо сваки број тзв. Фибоначијевог низа са његовим претходником добијамо низ бројева који конвергира управо броју (1.6180339887499…).
Легенда каже да је до овог открића Фибоначи дошао посматрајући понашање зечева, чије је размножавање пратило динамику овог бројчаног низа.

           Још један начин презантације Фибонацијевог низа је цртањем квадрата одређене површине. Почињемо са два квадрата дужине странице 1, које нацртамо једн до другог. Затим изнад та два квадрата нацртамо квадрат дужине странице 2 (1+1=2). Затим поред тако добивеног правоугаоника, нацртамо квадрат дужине странице 3 (1+2=3) . Ако наставимо са додавањем нових квадрата на слику, таквих да је страница новог квадрата једнака збиру дужина страница претходна два, добијамо квадрате чије су дужине страница једнаке бројевима Фибоначијевог низа.

          Ако у тако добијене квадрате уцртамо правоугаоне кружне лукове, добијамо спиралу, која је веома добра апроксимација спирала које се појављују у природи код пужева, шкољки и у распореду семенки код биљака.

fibonacijevniz

Фибоначијеви бројеви су свуда у природи ….